高数作业里写 ln1，有人直接填 1，被扣了分还觉得委屈。其实 ln1等于0，这是对数里最基础的一条。

ln 是以 e 为底的对数，e 约等于 2.71828。因为 e 的 0 次方等于 1，所以 ln1 就是 0，换成指数形式看更直白：e^0 = 1，反过来就是 ln1 = 0。

换底公式也能验证：ln1 = log10(1) / log10(e) = 0 / 0.4343 = 0。分子是 0，结果自然是 0，跟底数取多少没关系。

和它容易混的几个值

  • ln e = 1，因为 e 的一次方是 e。
  • ln(1/e) = -1，1/e 就是 e 的负一次方。
  • lg1 也等于 0，lg 以 10 为底，10 的 0 次方同样是 1。
  • ln0 没有定义，x 趋近 0 时 lnx 趋向负无穷，别写成 0。

从图像上记更牢

y = lnx 的图像过点 (1,0)，在 0 到正无穷上一直往上走，只是越来越平缓。x 小于 1 时函数值为负，x 大于 1 时为正。对数函数还有个特点，真数为 1 时结果永远是 0，不管底数是 e、10 还是 2，log2(1)、log5(1) 都等于 0。

计算器别按错键

科学计算器上 ln 和 log 是两个键，log 多数是以 10 为底，ln 才是自然对数。算 ln1 时按 ln 再按 1，结果应该是 0；按成 log 结果也是 0，但换成 ln2 和 log2 结果就差了两倍多。ln 一般读作自然对数，英文写 natural log，有些工程文档里也直接写成 log，看到没带底数的 log 先看上下文。

真记不住就回到定义：对数问的是底数要几次方才能得到这个数，e 要几次方得到 1，答案是零次。Excel 里算 ln1 用 =LN(1)，结果就是 0，换成 =LOG10(1) 也一样。如果题目考的是 lnx 的导数，别把函数值和导数混了，lnx 求导是 1/x，在 x=1 处导数为 1，函数值仍然是 0。

有些教材把自然对数写成 loge，底数 e 省略时默认就是 ln，别和常用对数搞混。工程软件里的 log 函数不一定以 e 为底，Excel 的 LOG 函数就要显式给底数，LN 才是自然对数。算增长率、半衰期这类题，结果里出现 ln 很常见，底数写错整道题就偏了。