求出反函数之后总有点不踏实：定义域要不要换？图像长什么样？两个函数复合起来是什么？把反函数与原函数的关系整理成三条硬性质，判断题和填空题基本能直接套。

三条核心性质

  • 定义域和值域互换：f(x)的定义域是反函数f⁻¹(x)的值域，f(x)的值域是反函数的定义域，写反函数时漏了这一步是扣分重灾区。
  • 图像关于直线y=x对称：原函数过点(a,b)，反函数就过点(b,a)，横纵坐标互换，所以两条图像沿y=x翻折后重合。
  • 复合回自身：f(f⁻¹(x))=x，f⁻¹(f(x))=x，先后过一遍原函数和反函数等于没变，这是验算的最快办法。

什么时候存在反函数

一个x对应两个y时没有反函数，所以一般说严格单调函数必有反函数。典型例子：y=x²在全体实数上没有反函数，限定x不小于0之后才有y=√x，限定x不大于0时反函数是y=-√x，负号别丢；y=sinx在整个实数集上没有，限制到负90度到90度之间就有了arcsinx，y=tanx限区间后得到arctan，道理相同。三角函数求反函数必须先限区间，就是这个原因。

选择题里的秒杀用法

已知f(x)的图像过点(1,2)，问反函数过哪个点，直接答(2,1)，不用把反函数求出来。同理，f(a)=b等价于f⁻¹(b)=a，这类互化在填空题里出现频率很高。画图时也一样，在原函数图像上取几个点，交换横纵坐标描点连线，反函数的草图就出来了。

一个完整例子

求y=2x+3的反函数：第一步把x解出来，x=(y-3)/2；第二步交换x和y，得y=(x-3)/2；第三步按原函数的值域写出定义域，这里是全体实数。验证一下：x=5代入原函数得13，13代入反函数回到5，复合性质成立。两条直线画出来，确实关于y=x对称。

做题就三步：解出x、交换x和y、补上定义域。前提是原函数严格单调，带三角和根号的先看区间，这三条关系抓牢，反函数的题没什么花样。