3x 加 5y 等于 20，这样的式子就是线性方程：未知数只有一次方，没有平方、没有 sin、也没有两个未知数相乘。图像画出来是条直线，所以叫线性。一般写成 ax 加 by 等于 c，a 和 b 是系数。
单个方程和方程组
一个方程带两个未知数，解有无穷多个，对应整条直线。实际解题都是联立，比如 x 加 y 等于 10，x 减 y 等于 2，两条直线的交点就是唯一解；三个方程三个未知数，对应空间里三个平面交出一个点。
手算用消元法
课本教的高斯消元是最通用的手算路子：把一个方程乘个系数加到另一个上，消掉一个未知数。上面那组两式相加得 2x 等于 12，解出 x 等于 6，代回去得 y 等于 4。变量多时一样的套路，逐个消元再回代；系数带小数的先通分，消的目标固定为同一个未知数。两个未知数时还能用画图法，把两条直线画在坐标系里读交点，考试拿来验算很快；三元以上画不了图，老老实实消元。
考试里常见的两个坑
- 去分母时两边每一项都要乘，常数项漏乘是最常见的失分点
- 移项要变号，从等号左边搬到右边不换符号，后面全错
- 应用题先设未知数再列方程，单位不统一的先换算成一样的
- 解完把结果代回原方程验算一遍，两秒钟的事，比检查十遍划算
计算机用矩阵解
方程组写成矩阵形式后，MATLAB 里对系数矩阵做左除就能出解，Python 里用 numpy.linalg.solve。系数和常数项拼成的表叫增广矩阵，消元过程就是在它上面做，等于把消元法写成表格。解的情况就三种：唯一解、无解（对应平行线）、无穷多解（两条线重合），看系数矩阵的行列式是不是 0 能判断大部分情形。
它为什么这么常见
电路分析列基尔霍夫方程、结构受力计算、统计里的最小二乘拟合，背后全是线性方程组。很多非线性问题也会被近似成线性问题来迭代求解。快速判断一个方程是不是线性：未知数没有高次幂、不互相乘除、不套函数，满足就是；反之叫非线性方程。初中的一元一次方程、二元一次方程组，高中的一次函数，大学线性代数里的向量方程，其实是同一条线上的东西。