课程作业让算一块方形铁板稳下来以后的温度分布：四条边各固定一个温度，板内没有热源，问中间温度怎么分布。这个问题列出来的方程就是拉普拉斯方程。

方程本身长什么样

二维情形写成：u 对 x 的二阶偏导，加上 u 对 y 的二阶偏导，等于 0。用算子记号就是 delta u 等于 0，delta 读作拉普拉斯算子。它的物理含义很朴素：稳态下这一点的值等于周围邻居的平均，温度场不再随时间变化，内部也没有热源加热或吸热。

三维问题只是多一项，x、y、z 三个方向的二阶偏导加起来等于 0。静电场里没有电荷的区域、无旋流动的速度势，满足的都是同一个方程。这类方程在数学物理里地位很高，稳态热传导、静电势、理想流体，分析到最后都绕不开它。

没有边界条件就没有唯一解

拉普拉斯方程的解由边界决定，这是它和代数方程最大的不同。第一类边界条件直接给定边界上的值，比如四条边的温度；第二类给定边界上的法向导数，比如已知热流。边界给全了，区域内部的解才唯一。而且解在内部不会出现极值，最大值和最小值都待在边界上，这个性质叫极值原理，验算时特别好用。

手算和计算机各怎么解

  • 分离变量法：形状规则的区域能手算，得到级数解
  • 有限差分：把区域画成网格，每个点取四邻平均，反复迭代到收敛
  • 有限元：商用仿真软件里最常见的做法，边界形状复杂也能算

实际判断：遇到稳态、无源、求分布这类问题，先想到拉普拉斯方程；规则边界用分离变量，复杂边界交给数值方法。手工验算可以拿极值原理查错，内部算出的温度要是超出了所有边界值的范围，一定是哪里弄错了。网格算出来的结果拿这条一对照，十秒内就能发现方向性的错误。