某设备平均无故障运行 2000 小时，问它撑过 1000 小时的概率是多少？这类等待时间的问题，概率论里一般交给指数分布处理。它是连续型分布，专门描述两个独立事件之间的时间间隔。
核心公式就三个
设参数为 λ（单位时间平均发生次数），概率密度函数是 f(x) = λe^(-λx)，x 不小于 0。分布函数 F(x) = 1 - e^(-λx)，直接给出等待时间不超过 x 的概率。期望和方差最好背下来：E(X) = 1/λ，D(X) = 1/λ²，标准差和期望相等是它的独特记号。看图更直观：密度曲线从 λ 开始一路指数衰减，说明短间隔最容易发生，等待越久反而越难恰好等到那一刻。
无记忆性是它的招牌
已经无故障运行了 500 小时，再撑 1000 小时的概率，和从头算完全一样，过去白熬了，不影响未来。写成条件概率就是 P(X 大于 s+t 且 X 大于 s) 等于 P(X 大于 t)。几何分布有同样的性质，只是它描述离散次数，指数分布描述连续时间。这个性质对灯泡、电子元件这类场景合理，对会磨损的机械件并不成立，后者常用威布尔分布。
和泊松分布是一对
同一个参数 λ，泊松分布数单位时间内事件发生了几次，指数分布量两次事件之间隔了多久。比如客服电话平均每小时来 12 通，相邻两通电话的间隔就服从期望为 1/12 小时即 5 分钟的指数分布。一个管次数，一个管间隔，成对记忆不容易混。
推而广之，n 个独立同参数的指数间隔加起来服从爱尔兰分布，排队论里设计服务台数量就用它，这也是指数分布在工程里吃香的原因。
回到开头那道题
平均无故障 2000 小时，λ = 1/2000，1000 小时内不出故障的概率是 e^(-0.5)，约等于 0.61。可靠性工程里把这个概率叫可靠度 R(t) = e^(-λt)，1 减去它就是累积失效概率，备件库存和保修期设定都从这条式子出发。
实用判断：题目场景是寿命、等待间隔，且强调独立和稳定速率，先想指数分布；数据里有明显磨损趋势或速率随时间变化，它就不合适了，换威布尔或伽马分布更靠谱。