抛 10 次硬币出来 8 次正面，第一反应往往是硬币有问题。先别下结论，10 次太少了，这个判断要交给大数定理。

它说的是频率会稳定下来

大数定理的意思是：同一个随机试验重复的次数足够多，事件出现的频率会越来越接近它的真实概率。硬币正面概率 0.5，抛 10 次出 8 次正面不稀奇，抛 1000 次、10000 次，正面占比就会明显向 0.5 靠拢，次数越多靠得越近。

注意它说的是长期频率的稳定，不是短期会找齐。前 10 次正面多了，接下来 10 次并没有义务多出反面，硬币没有记忆。把大数定理理解成输久了该赢了，就是典型的赌徒谬误，跟这条定理一点关系都没有。

叫法不同，说的基本是一回事

教材里更多写大数定律，日常搜索常写大数定理，指的都是同一类结论。细分有弱大数定律和强大数定律，区别在收敛方式的严格程度，日常应用不用太纠结这个差别，写论文引用按教材写定律，日常交流说定理都能对上。

哪些地方在靠它干活

  • 保险定价：单个理赔是随机的，大量保单汇总后赔付率就稳定下来
  • 抽样调查：样本量够大，样本均值才能放心代表总体均值
  • 蒙特卡洛模拟：用大量随机试验的频率去估计一个难算的数值

用的时候留意样本量：定理保证的是次数很多以后的趋势，10 次、20 次的波动完全可能很大。想判断一枚硬币是否均匀，几百上千次的记录才有点说服力。做问卷也是同理，回收到三五十份就宣布结论，波动大到基本没法用。

实际判断：看到小样本的极端结果，先想想是不是正常波动；要下结论，就加大样本再看。这是统计里最朴素的常识，也是大数定理最直接的用法。